ВсОШ 2021, 11 класс, задача 1
При некоторых натуральных число оказалось представимо в виде суммы слагаемых, каждое из которых равно некоторой целой неотрицательной степени числа , а также в виде суммы слагаемых, каждое из которых равно некоторой целой неотрицательной степени числа . При каком наибольшем это могло произойти (хоть при каком-то )?
(А. Кузнецов)
Ответ
Ответ.
.
Решение.
Пусть . Поскольку любая степень числа дает остаток от деления на , то сумма таких степеней дает остаток от деления на . С другой стороны, степени числа дают лишь остатки или от деления на , поэтому сумма степени числа может давать остаток от деления на только если все слагаемые равны . Но тогда , противоречие. Значит, .
Для есть пример: .
Замечание.
Можно привести также пример числа , у которого в системах счисления с основаниями и при сумма цифр равна (тем самым, оно тоже удовлетворяют условию задачи): .