ВсОШ 2024, 10 класс, задача 8
Дано натуральное . Маша записывает по кругу натуральных чисел. Далее Тая делает такую операцию: между каждыми двумя соседними числами и она пишет некоторый делитель числа , больший ; затем Тая стирает исходные числа и получает новый набор из чисел, стоящих по кругу. Всегда ли Тая может выполнять операции таким образом, чтобы через несколько операций все числа оказались равными? (Т. Коротченко)
Ответ. Да.
Решение. Будем наращивать множество ситуаций, в которых Тая побеждает (т.е. сможет получить равных чисел).
(1) Пусть у нас нечётных чисел. Тогда за одну операцию можно получить двоек.
(2) Пусть никакая сумма двух соседних чисел не является степенью двойки. Тогда за одну операцию можно получить ситуацию (1).
(3) Пусть среднее арифметическое всех чисел не равно степени двойки.
Покажем, что сможем прийти к ситуации (2). Воспользуемся следующей леммой, доказательство которой приведём в конце решения.
Лемма. Пусть - вещественные числа, - их среднее арифметическое. За один ход меняем набор на , , ..., . Тогда для любого через несколько ходов все числа будут лежать в интервале .
Ясно, что . Выберем так, чтобы интервал целиком помещался между соседними степенями двойки: для некоторого натурального . Будем проводить много раз операцию замены пары соседней на их сумму. Тогда, согласно лемме, найдётся такое, что после операций все числа будут лежать в интервале , а значит, в интервале между соседними степенями двойки и . Значит, после операции выполнялось условие (2).
(4) Пусть все числа не меньше .
Если мы не в ситуации (2), то есть пара соседей , сумма которых равна , где - натуральное. Попробуем сделать следующую операцию произвольно, только и заменим на число . Пусть в такой попытке мы не пришли в ситуацию (3), то есть получили ситуацию, в которой среднее арифметическое равно степени двойки. Тогда сделаем другую попытку, в которой все пары меняются так же, только только и заменяются на . По сравнению с первой попыткой увеличилось на , поэтому мы окажемся в ситуации (3).
(5) Пусть набор исходных чисел произвольный. Тогда после одной операции имеем ситуацию (4).
Доказательство леммы. Сделаем переобозначения, пусть , , ..., - данные числа, так что . Пусть . Ясно, что после хода не увеличится. Достаточно понять, что через некоторое количество ходов этот максимум отклонения станет не более для некоторого фиксированного . Ниже увидим, что можно положить и .
Через ходов у нас будет набор , , ..., , где
и т.д. Так как , имеем
.
Отсюда
.
Аналогично все .