ВсОШ 2026, 11 класс, задача 5
Саша поставил фишку в одну из точек координатной плоскости. За одну операцию разрешается переместить фишку, расположенную в точке с координатами , в другую точку , если уравнение прямой, соединяющей эти точки, имеет вид (где — номер операции). Может ли после нескольких таких операций фишка вернуться в исходную точку?
Ответ
Ответ: не может.
Решение 1. Заметим, что если уравнение прямой, соединяющей точки и , имеет вид , то и . Вычтем одно равенство из другого:
Пусть фишка побывала в точках . В силу сказанного выше, , . Здесь и далее считаем, что нумерация индексов ведётся по модулю . Сложив все эти равенства, имеем:
Следовательно, , а тогда первая и вторая точка маршрута фишки совпадают, противоречие.
Решение 2. Назовем ценой точки плоскости значение . После перемещения из точки в точку , где и , цена новой точки будет больше, поскольку
Следовательно, в исходную точку фишка вернуться не может.
Замечание. У приведённого в условии процесса есть следующая интерпретация. Если паре чисел сопоставить параболу , задаваемую уравнением , то парабола, соответствующая паре , выбирается проходящей через вершину параболы . В этом процессе никакая парабола не повторится, поскольку ордината вершины у каждой следующей меньше, чем у предыдущей.