ВсОШ 2023, 10 класс, задача 2
( баллов) У школьников есть стопка из карточки, которые пронумерованы числами от до . Первый школьник перемешивает стопку, затем берёт сверху из получившейся стопки по одной карточке, и при каждом взятии карточки (в том числе при первом) записывает на доску среднее арифметическое чисел на всех взятых им на данный момент карточках. Так он записывает чисел, а когда в стопке остаётся одна карточка, он возвращает карточки в стопку, и далее всё то же самое, начиная с перемешивания стопки, проделывает второй школьник, потом третий, и т.д. Докажите, что среди выписанных на доске чисел найдутся два одинаковых. (А. Грибалко)
Ответ
Решение. На -м шаге у каждого из человек было выписано одно из чисел множества
На -м шаге - одно из чисел множества
На -м шаге выписано одно из чисел множества
где - сумма всех чисел (а вычитается - число на оставшейся в конце карточке).
Видим, что
так что . Далее, , но числа , , принадлежат , значит,
Итак, мы показали, что чисел, выписанных на -м, -м и -м шагах, могут принимать не более различных значений. Следовательно, какие-то два из них равны.