ВсОШ 2023, 10 класс, задача 8

Очень сложная

Источник:

Всероссийская олимпиада школьников, Заключительный (9–11 классы), 2023, 10 класс, Второй тур

( баллов) Дано число . Положительные числа удовлетворяют условиям и . Найдите наименьшее значение выражения . (А. Храбров)

Ответ

Ответ. .

Решение. Заметим, что равенство достигается при и .

Запишем

Достаточно доказать, что .

Пусть - наименьшее из чисел.

При имеем

Если же , то

что, поскольку выражения в скобках неотрицательны, не меньше, чем

Похожие задачи

ВсОШ 2022, 10 класс, задача 5

(20 баллов) На доске написаны 11 целых чисел (не обязательно различных). Может ли оказаться, что произведение любых пяти из них больше, чем произведение остальных шести? (И. Богданов)

Очень сложная

Неравенства

ВсОШ 2022, 11 класс, задача 5

Очень сложная

Неравенства

ВсОШ 2021, 10 класс, задача 7

Натуральные числа n>20 и k>1 таковы, что n делится на k². Докажите, что найдутся натуральные числа a,b и c такие, что n=ab+bc+ca. (А. Храбров)

Очень сложная

Неравенства

ВсОШ 2021, 11 класс, задача 7

Найдите все перестановки (a₁,a₂,ldots,a₂₀₂₁) чисел 1,2,ldots,2021 такие, что при любых натуральных m,n, удовлетворяющих условию |m-n|>20²¹, выполняется неравенство: Σ_i=1²⁰²¹НОД(m+i,n+a_i)1,a₂,ldots,a₂₀₂

Очень сложная

Неравенства