ВсОШ 2022, 10 класс, задача 5

Очень сложная
Неравенства
Источник:
Всероссийская олимпиада школьников, Заключительный этап, 2022, 10 класс, Второй тур

( баллов) На доске написаны целых чисел (не обязательно различных). Может ли оказаться, что произведение любых пяти из них больше, чем произведение остальных шести? (И. Богданов)

Верно или неверно?

Войдите, чтобы проверять ответы

Ответ.

Может.

Решение.

Пусть одно из чисел равно , а каждое из остальных равно -. Тогда произведение любых пяти из них больше, чем произведение остальных шести. Действительно, если число входит в произведение пяти чисел, то это произведение равно , а произведение оставшихся шести чисел равно , и . Если же число не входит в произведение пяти чисел, то это произведение равно -, а произведение оставшихся шести чисел равно -, и - > -.

Похожие задачи

ВсОШ 2022, 11 класс, задача 5

(20 баллов) На доске написаны 11 целых чисел (не обязательно различных). Может ли оказаться, что произведение любых пяти из них больше, чем произведение остальных шести? (И. Богданов)
Очень сложная
Неравенства

ВсОШ 2023, 10 класс, задача 8

(20 баллов) Дано число a∈(0,1). Положительные числа x0,x1,ldots,xn удовлетворяют условиям x0+x1+ldots+xn=n+a и frac1{x0}+frac1{x1}+ldots+frac1{xn}=n+frac1a. Найдите наименьшее значение выражения x
Очень сложная
Неравенства

ВсОШ 2021, 10 класс, задача 7

Натуральные числа n>20 и k>1 таковы, что n делится на k2. Докажите, что найдутся натуральные числа a,b и c такие, что n=ab+bc+ca. (А. Храбров)
Очень сложная
Неравенства

ВсОШ 2021, 11 класс, задача 7

Найдите все перестановки (a1,a2,ldots,a2021) чисел 1,2,ldots,2021 такие, что при любых натуральных m,n, удовлетворяющих условию |m-n|>2021, выполняется неравенство: Σi=12021НОД(m+i,n+ai)1,a2,ldots,a202
Очень сложная
Неравенства