ВсОШ 2021, 11 класс, задача 7
Найдите все перестановки чисел такие, что при любых натуральных , удовлетворяющих условию , выполняется неравенство:
(Перестановка - это последовательность, в которой каждое из чисел встречается ровно по одному разу.)
(П. Козлов)
Ответ
Ответ.
Тождественная перестановка, то есть .
Решение.
Рассмотрим перестановку , для которой выполняется условие задачи. Обозначим . Очевидно, что сумма всех чисел равна нулю. Пусть не все равны , в таком случае существуют индексы такие, что . Возьмем , тогда . По китайской теореме об остатках существует целое такое, что кратно и кратно . Тогда для пары натуральных чисел , во-первых, выполняется , а во-вторых, верно неравенство
что противоречит выбору перестановки. Следовательно, все равны , и перестановка является тождественной, то есть .
Лемма.
Пусть натуральные удовлетворяют неравенству . Обозначим за сумму . Тогда для любого натурального .
Доказательство.
Предположим противное и обозначим за максимум из чисел вида , , причем . Тогда , а при верна следующая цепочка неравенств:
откуда следует, что . На отрезке функция
достигает максимума в одном из его концов, поэтому
так как и , что противоречит нашему предположению.
Тот факт, что тождественная перестановка подходит под условие задачи, следует из леммы с , и из равенства .