ВсОШ 2019, 9 класс, задача 5
В детском саду воспитательница взяла одинаковых картонных прямоугольников и раздала их детям, каждому по прямоугольнику. Каждый ребенок разрезал свой прямоугольник на несколько одинаковых квадратиков (квадратики у разных детей могли быть разными). Оказалось, что общее количество квадратиков - простое число. Докажите, что исходные прямоугольники были квадратами.
(С. Берлов)
Решение.
Предположим противное: пусть прямоугольники имели размеры , где . Пусть - длина стороны квадрата у -го ребёнка. Тогда каждая сторона прямоугольника составлена из нескольких отрезков длиной , то есть и , где и - натуральные числа. При этом у ребёнка получилось квадратиков.
Заметим, что , то есть число рационально. Пусть - его несократимая запись; тогда , и делится на при всех . Значит, и число квадратиков у -го ребёнка делится на . Тогда общее число квадратиков также делится на , и притом (поскольку количество детей больше ). Значит, - составное число; противоречие.