ВсОШ 2019, 10 класс, задача 1
В каждой точке плоскости стоит вещественное число . Известно, что если - точка пересечения медиан треугольника , то . Докажите, что для всех точек .
(А. С. Голованов)
Решение.
Возьмем произвольную точку плоскости и докажем, что . Для этого рассмотрим произвольный треугольник , для которого точка является точкой пересечения медиан. Обозначим через и точки пересечения медиан треугольников и , соответственно (см. рис. 2).
Заметим, что точка также является точкой пересечения медиан треугольника . В самом деле, обозначим через и середины отрезков и , соответственно. Тогда треугольник получается из треугольника гомотетией в точке с коэффициентом , поскольку при гомотетии с коэффициентом треугольник переходит в , а при последующей гомотетии с коэффициентом - в треугольник . Но тогда справедлива следующая цепочка равенств: , из чего следует, что , что и требовалось доказать.