ВсОШ 2019, 9 класс, задача 8

Сложная
Комбинаторика
Источник:
Всероссийская олимпиада школьников, Заключительный этап, 2019, 9 класс, Второй тур

Даны числа , не меньшие . Докажите, что

(К. Тыщук)

Решение.

По неравенству о средних имеем , откуда

где в последнем переходе опять применено неравенство о средних. Аналогично выводятся неравенства

Складывая три полученных неравенства, получаем требуемое.

Замечание.

Равенство достигается при .

Похожие задачи

ВсОШ 2026, 9 класс, задача 1

Сначала на тарелке лежат 75 конфет. Петя и Вася по очереди берут из тарелки любое натуральное количество конфет до тех пор, пока конфет на тарелке не останется. Начинает Петя. При каком наименьшем k Петя может играть так, чтобы гарантировать, что в конце игры количества конфет у мальчиков отличаются
Сложная
Комбинаторика

ВсОШ 2023, 9 класс, задача 2

(20 баллов) Изначально в строку выписывают 250 букв — 125 букв А и 125 букв Б в некотором порядке. Затем за одну операцию можно взять любой кусок из нескольких подряд стоящих букв, среди которых поровну букв А и Б, и переставить буквы в этом куске в обратном порядке, поменяв в этом куске все буквы А
Сложная
Комбинаторика

ВсОШ 2024, 9 класс, задача 3

Двум мальчикам выдали по мешку картошки, в каждом мешке по 150 клубней. Ребята по очереди перекладывают картошку, каждый своим очередным ходом перекладывает ненулевое количество клубней из своего мешка в чужой. При этом они должны соблюдать условие новой возможности: на каждом ходе мальчик должен пе
Сложная
Комбинаторика

ВсОШ 2025, 9 класс, задача 4

Шахматного короля поставили на клетку доски 8 × 8 и сделали им 64 хода так, что он побывал на всех клетках и вернулся в исходную клетку. В каждый момент времени вычислялось расстояние от центра клетки, в которой находился король, до центра всей доски. Назовём сделанный ход приятным, если в результат
Сложная
Комбинаторика