ВсОШ 2019, 9 класс, задача 3
Окружность с центром в точке описана около остроугольного треугольника , в котором ; его высоты пересекаются в точке . На продолжении отрезка за точку отмечена точка такая, что . Прямая, проходящая через точку параллельно прямой , пересекает меньшую дугу окружности в точке . Докажите, что .
(А. Кузнецов)
Ответ
Решение.
Пусть - вторая точка пересечения с окружностью (см. рис. 1). Тогда диаметр , и . Значит, и . Следовательно, четырёхугольник параллелограмм. Обозначим через точку пересечения его диагоналей. Она является серединой отрезков и .
При симметрии относительно точки точка переходит в точку , а точка - в точку . Пусть при этой симметрии точка переходит в , а окружность в . Тогда точки ,
и лежат на . Поскольку , точка также лежит на . В силу симметрии, , а также поэтому точка лежит на прямой . Из вписанности четырёхугольников и получаем, что . Таким образом, . Это означает, что трапеция равнобокая, поэтому .