ВсОШ 2019, 9 класс, задача 3

Сложная

Источник:

Всероссийская олимпиада школьников, Заключительный этап, 2019, 9 класс, Первый тур

Окружность с центром в точке описана около остроугольного треугольника , в котором ; его высоты пересекаются в точке . На продолжении отрезка за точку отмечена точка такая, что . Прямая, проходящая через точку параллельно прямой , пересекает меньшую дугу окружности в точке . Докажите, что .

(А. Кузнецов)

Решение.

Пусть - вторая точка пересечения с окружностью (см. рис. 1). Тогда диаметр , и . Значит, и . Следовательно, четырёхугольник параллелограмм. Обозначим через точку пересечения его диагоналей. Она является серединой отрезков и .

Рисунок 1 к решению задачи 9.3

При симметрии относительно точки точка переходит в точку , а точка - в точку . Пусть при этой симметрии точка переходит в , а окружность в . Тогда точки ,

и лежат на . Поскольку , точка также лежит на . В силу симметрии, , а также поэтому точка лежит на прямой . Из вписанности четырёхугольников и получаем, что . Таким образом, . Это означает, что трапеция равнобокая, поэтому .

Похожие задачи

ВсОШ 2022, 9 класс, задача 2

(20 баллов) Биссектрисы треугольника ABC пересекаются в точке I, внешние биссектрисы его углов B и C пересекаются в точке J. Окружность ω_b с центром в точке O_b проходит через точку B и касается прямой CI в точке I. Окружность ω_c с центром в точке O_c проход

Сложная

Планиметрия

ВсОШ 2021, 9 класс, задача 4

На стороне AB остроугольного треугольника ABC отмечена точка D, а на продолжении стороны BC за точку C - точка E. Оказалось, что прямая, проходящая через E и параллельная AB, касается окружности, описанной около треугольника ADC. Докажите, что одна из касательных, проведенных из точки E к описанной

Сложная

Планиметрия

ВсОШ 2022, 9 класс, задача 4

(20 баллов) В классе 18 детей. Родители решили подарить детям из этого класса торт. Для этого они сначала узнали у каждого ребёнка площадь куска, который он хочет получить. После этого они заказали торт квадратной формы, площадь которого в точности равна сумме 18 названных чисел. Однако, увидев торт

Сложная

Планиметрия

ВсОШ 2026, 9 класс, задача 6

Точка O — центр окружности, описанной около остроугольного неравнобедренного треугольника ABC. Из точки A опустили перпендикуляры AP и AQ на продолжения отрезков BO и CO за точку O. Окружность с центром T, проходящая через точки P и Q, касается отрезка BC. Докажите, что TOparallel BC.

Сложная

Планиметрия