ВсОШ 2019, 9 класс, задача 1
На плоскости отмечены точек. Докажите, что можно выбрать некоторые из них и переместить их так, чтобы расстояние между любыми двумя перемещенными точками не изменилось, а в результате на плоскости осталось множество из точек, симметричное относительно некоторой прямой.
(С. Волчёнков)
Ответ
Решение.
Обозначим данные точки через и . Выберем из них две самые удаленные друг от друга, пусть это и . Покажем, что можно переместить их требуемым образом. Проведём серединный перпендикуляр к отрезку . Если лежит на , то достаточно переместить точки и на прямую . Иначе пусть точка, симметричная относительно . Заметим, что расстояние от до меньше длины одного из отрезков и , то есть меньше . Таким образом, можно переместить точку в точку , а точку - в точку, лежащую на и удаленную от на расстояние . Легко видеть, что ось симметрии нового множества точек, что и требовалось.