ВсОШ 2019, 11 класс, задача 2
Верно ли, что при любых ненулевых целых числах и система
имеет хотя бы одно решение?
(М. Антипов)
Ответ.
Нет.
Решение.
Покажем, что система не будет иметь решений при . Действительно, из уравнений системы вытекает, что
при целых и . Отсюда следует
При получаем , а значит, . Поэтому первое уравнение системы не может выполняться.
Замечание.
Числа и такие, что , можно найти, применив алгоритм Евклида к паре взаимно простых чисел . На самом деле, в условии задачи можно заменить числа и на любую пару взаимно простых чисел, и ответ не изменится. Можно также заметить, что и - последовательные числа Фибоначчи, поэтому равенство является частным случаем общего факта .