ВсОШ 2025, 9 класс, задача 2

Сложная
Планиметрия
Источник:
Всероссийская олимпиада школьников, Заключительный этап, 2025, 9 класс, Первый тур

Диагонали выпуклого четырёхугольника пересекаются в точке . Точки касания описанных окружностей треугольников и с их общими внешними касательными лежат на окружности . Точки касания описанных окружностей треугольников и с их общими внешними касательными лежат на окружности . Докажите, что центры окружностей и совпадают.

Решение. Обозначим центры описанных окружностей треугольников , , , через , , , соответственно. Пусть , — точки касания одной из общих касательных с описанными окружностями треугольников и соответственно; обозначим через и середины отрезков и соответственно.

Тогда в прямоугольной трапеции прямая — средняя линия, поэтому она является серединным перпендикуляром к отрезку . Заметим, что окружность симметрична относительно прямой , на которой также лежит точка , значит, — центр .

Схемы к решению задачи 9.2

Аналогично получаем, что середина отрезка является центром . Поэтому утверждение задачи равносильно тому, что — параллелограмм. Для доказательства этого достаточно заметить, что и — серединные перпендикуляры к отрезкам и , поэтому ; аналогично, , откуда и следует требуемое.

Похожие задачи

ВсОШ 2022, 9 класс, задача 2

(20 баллов) Биссектрисы треугольника ABC пересекаются в точке I, внешние биссектрисы его углов B и C пересекаются в точке J. Окружность ωb с центром в точке Ob проходит через точку B и касается прямой CI в точке I. Окружность ωc с центром в точке Oc проход
Сложная
Планиметрия

ВсОШ 2022, 9 класс, задача 4

(20 баллов) В классе 18 детей. Родители решили подарить детям из этого класса торт. Для этого они сначала узнали у каждого ребёнка площадь куска, который он хочет получить. После этого они заказали торт квадратной формы, площадь которого в точности равна сумме 18 названных чисел. Однако, увидев торт
Сложная
Планиметрия

ВсОШ 2021, 9 класс, задача 4

На стороне AB остроугольного треугольника ABC отмечена точка D, а на продолжении стороны BC за точку C - точка E. Оказалось, что прямая, проходящая через E и параллельная AB, касается окружности, описанной около треугольника ADC. Докажите, что одна из касательных, проведенных из точки E к описанной
Сложная
Планиметрия

ВсОШ 2026, 9 класс, задача 3

Дан неравнобедренный треугольник ABC, в котором angle A=60circ. На стороне BC отмечены точки X и Y таким образом, что 2BX=AB и 2CY=AC. Докажите, что существует окружность, проходящая через точки X и Y, которая касается вписанной и одной из вневписанных окружностей треугольника ABC.
Сложная
Планиметрия