ВсОШ 2025, 9 класс, задача 2
Диагонали выпуклого четырёхугольника пересекаются в точке . Точки касания описанных окружностей треугольников и с их общими внешними касательными лежат на окружности . Точки касания описанных окружностей треугольников и с их общими внешними касательными лежат на окружности . Докажите, что центры окружностей и совпадают.
Ответ
Решение. Обозначим центры описанных окружностей треугольников , , , через , , , соответственно. Пусть , — точки касания одной из общих касательных с описанными окружностями треугольников и соответственно; обозначим через и середины отрезков и соответственно.
Тогда в прямоугольной трапеции прямая — средняя линия, поэтому она является серединным перпендикуляром к отрезку . Заметим, что окружность симметрична относительно прямой , на которой также лежит точка , значит, — центр .
Аналогично получаем, что середина отрезка является центром . Поэтому утверждение задачи равносильно тому, что — параллелограмм. Для доказательства этого достаточно заметить, что и — серединные перпендикуляры к отрезкам и , поэтому ; аналогично, , откуда и следует требуемое.