ВсОШ 2025, 10 класс, задача 8
На периметре треугольника выбраны точки , , , , , так, что при обходе периметра точки встречаются в порядке , , , , , , , , . Оказалось, что . Докажите, что периметры треугольников, образованных тройками прямых , , и , , , равны.
Ответ
Решение. Начнём со следующей полезной леммы.
Лемма. Пусть точки и выбраны соответственно на сторонах и параллелограмма так, что . Тогда точка равноудалена от прямых и .
Доказательство. Поскольку и , имеем . Так как , отсюда и следует, что расстояния от точки до прямых и равны.
Перейдём к решению. Пусть прямые из условия образуют треугольники и . Выберем точку так, что — параллелограмм; согласно лемме, точка равноудалена от прямых , , и . Значит, существует окружность с центром , касающаяся этих прямых в некоторых точках , , и соответственно.
Тогда из равенств отрезков касательных вытекает, что
и
Аналогично получаем, что и . Складывая полученные три равенства, получаем требуемое равенство периметров.