ВсОШ 2025, 11 класс, задача 8

Ответ. .

Решение. Для натурального положим . Тогда число хорд длины равно количеству нулей функции .

В качестве примера выберем следующую кусочно-линейную функцию:

и

Заметим, что при функция принимает значение только в точке . Следовательно, если , то обе точки и лежат в отрезке . В частности, , и нули функции лежат в промежутке .

Для при имеем . Значит, имеет единственный нуль , то есть хорда длины у функции единственна. При натуральном функция монотонно убывает при и монотонно возрастает при , при этом , и . Таким образом, у этой функции ровно два нуля, то есть функция имеет по две хорды длины . Итого у неё различных хорд.

Теперь перейдём к оценке. Без ограничения общности будем считать, что хорда длины соединяет точки и , то есть . Положим . Из условия следует, что у функции конечное число нулей, а также эта функция непрерывна. Пусть все её нули лежат в промежутке . Тогда функция знакопостоянна на лучах и . При необходимости, заменив функцию на , мы будем считать, что при .

Предположим, что при . Заметим, что

поэтому при и при . Значит, функция имеет нуль, то есть у функции есть хорда любой натуральной длины, что противоречит условию задачи. Таким образом, и при . Значит, при и при .

Далее мы докажем, что при натуральных и , в сумме дающих , функция имеет хотя бы четыре хорды длин и . Применяя это утверждение для каждой такой пары , , мы получим заявленную оценку. Иными словами, мы докажем, что у функций и при суммарно хотя бы четыре нуля.

Предположим, что это не так. Тогда можно считать, что функция имеет не более одного нуля. Значит, эта функция не может принимать отрицательных значений: если , то в силу непрерывности и неотрицательности при достаточно больших по модулю значениях у неё есть нуль на луче и на луче , то есть хотя бы два нуля. Итого , причём равенство нулю достигается не более чем в одной точке.

Покажем, что для некоторого . Рассмотрим наименьшее натуральное число , для которого число делится на , и обозначим через остатки чисел по модулю . Если , положим , если же , положим . Рассмотрим разности

Если , то и ; если же , то и . Кроме того, первое или последнее слагаемое положительно. Поскольку , найдётся отрицательное слагаемое , что возможно лишь во втором случае. Тогда для получаем . При этом из равенства и неотрицательности следует, что и , поэтому .

Если и , то , , , а также функция положительна при достаточно больших по модулю . Значит, функция имеет по нулю на промежутках , , , , то есть уже эта функция имеет хотя бы четыре нуля.

Если , то , поскольку у функции не более одного нуля. Тогда , , . В этом случае у функции есть по нулю на промежутках и , а также нуль , то есть хотя бы три нуля, и ещё один нуль в точке есть у функции , что в сумме составляет хотя бы четыре нуля. Случай разбирается аналогично.