ВсОШ 2026, 9 класс, задача 7
Пусть — нечётное натуральное число. Дана таблица . Расстоянием между двумя клетками таблицы назовём наименьшее число шагов, за которое можно добраться от одной клетки до другой, переходя каждый раз в соседнюю по стороне клетку (так, расстояние между клетками, соседними по стороне, равно ). клеток таблицы окрашены в красный цвет, а другие клеток — в синий. Известно, что любая прямая, соединяющая центры красной и синей клеток, не параллельна ни одной из диагоналей таблицы. Кроме того, расстояние между любыми красной и синей клетками не равно . Докажите, что .
Ответ
Решение. Занумеруем строки сверху вниз, а столбцы слева направо числами от до ; каждую клетку будем обозначать как , где — номер её строки, а — номер её столбца. Запишем в каждую клетку остатки и от деления чисел и на .
Предположим, что в клетках и записана одна и та же (упорядоченная) пара остатков. Это значит, что и . Складывая и вычитая эти два сравнения, получаем и , а поскольку нечётно, то и , то есть и . Значит, в любых двух различных клетках написаны разные пары остатков.
Покажем теперь, что если в красной клетке написаны остатки , а в синей клетке — остатки , то и . Предположим, что . Числа и отличаются меньше, чем на ; поскольку они дают одинаковые остатки при делении на , они либо равны, либо отличаются на . В первом случае прямая, соединяющая центры этих клеток, параллельна диагонали таблицы, что невозможно по условию. Во втором же, если, скажем, , то . Оба слагаемых меньше , поэтому оба они положительны. Тогда это равенство означает, что расстояние между нашими клетками равно , что также запрещено условием. Случай разбирается аналогично.
Пусть в красных клетках встречаются остатков на первых местах и остатков на вторых; поскольку каждая пара остатков задаёт клетку однозначно, получаем
По доказанному, в синих клетках на первых местах могут встречаться лишь других остатков, а на вторых — лишь других остатков, то есть
Значит,
что и требовалось доказать.