ВсОШ 2026, 10 класс, задача 8
Дан треугольник с различными натуральными длинами сторон . Докажите, что хотя бы одно из чисел , и не является полным квадратом.
Решение 1. Предположим, что все три числа , и являются полными квадратами. Пусть, не умаляя общности, . При этом по неравенству треугольника .
Заметим, что числа и являются полными квадратами, то есть
для некоторых натуральных и . Разность равна . Видим, что , а тогда . Значит,
Но тогда
то есть . Противоречие.
Решение 2. Не умаляя общности, можно считать, что — наибольшее из чисел. Предположим противное:
где — натуральные числа. Тогда , откуда . Аналогично . С другой стороны,
где мы воспользовались неравенством треугольника. Значит, . Отсюда следует, что .
Заметим, что
Преобразуя это равенство, получаем
Выше мы получили, что . Тогда из полученных равенств следует, что
а такое возможно только если . Но так как , числа и взаимно просты, и аналогично взаимно просто с . Но кратно , откуда . Это невозможно, поскольку — максимальное из трёх различных натуральных чисел.