ВсОШ 2026, 11 класс, задача 7

Решение 1. Проведем через точку прямую, параллельную . Пусть она пересечет плоскости и в точках и соответственно. Тогда точки лежат в одной плоскости, поэтому лучи и пересекаются в некоторой точке на ребре . Мы далее докажем, что — середина , а тогда, поскольку , то на прямой будет лежать середина отрезка , при этом по построению прямая содержится в плоскости , то есть задача будет решена.

Поскольку и , то плоскость перпендикулярна прямой , а тогда и прямой . Следовательно, . Далее можно рассматривать лишь точки (см. рисунок справа).

Обозначим через и проекции точек и соответственно на плоскость . Тогда по теореме о трех перпендикулярах точки , , лежат на одной прямой, перпендикулярной , а также . Значит, точки лежат на окружности с диаметром , а точки — на окружности с диаметром , поэтому (здесь мы воспользовались равенством радиусов ). Следовательно, , а поскольку , то и . Тогда и , что и требовалось.

Решение 2. Будем обозначать через расстояние от точки до плоскости , через — угол между прямой и плоскостью .

Пусть плоскость пересекает ребро в точке . Тогда

Точки и как точки касания вписанной сферы с плоскостями и симметричны относительно биссектра двугранного угла при ребре , в силу этой симметрии прямая образует равные углы с этими плоскостями. Следовательно,

Прямые и перпендикулярны плоскостям и , поэтому они обе ортогональны прямой . Итого прямая перпендикулярна плоскости , а прямая перпендикулярна плоскости . Следовательно, , аналогично . Таким образом,

Поскольку , из соотношений и следует требуемое равенство .

Замечание. Как нетрудно заметить, оба приведенных решения следует плану соответствующих рассуждений для аналогичной плоской задачи: если — центр вписанной окружности треугольника , которая касается соответствующих сторон в точках , и прямая пересекает отрезок в точке , то прямая проходит через середину отрезка .

Отметим, что ключевое равенство второго решения

аналогично теореме синусов для треугольника. Действительно, если для трехгранного угла тетраэдра при вершине мы обозначим через объём тетраэдра, образованного тремя внешними единичными нормалями в точке к граням тетраэдра , , (и введём аналогичные обозначение для остальных вершин), то наше равенство примет вид

Замечание. Приведём план альтернативного подхода с помощью полярного преобразования относительно вписанной сферы .

Заметим, что точка — полюс плоскости , аналогично и с другими точками касания. Следовательно, полюс плоскости — бесконечно удаленная точка на прямой , а поляра прямой — это прямая . Таким образом, полюс плоскости лежит в плоскости , параллельной прямой и содержащей ребро .

Рассмотрим плоскость , проходящую через точку и перпендикулярную прямой . Пусть окружность — это проекция сферы на , проекцию точки на эту плоскость будем обозначать через . Тогда точка будет полюсом прямой относительно окружности , а также . После проектирования отрезки и будут касаться окружности (в точках и ).

Пусть прямая пересекает окружность в точках и . В силу сказанного выше, точка лежит на пересечении касательных в точках и к окружности . Это означает, что четырехугольник — гармонический; проецируя двойное отношение его вершин с описанной окружности на прямую с центром в точке , мы получаем, что четверка точек , , , — гармоническая. Теперь при проекции этой четверки с центром на прямую , поскольку , мы получаем, что проходит через середину отрезка . Следовательно, середина отрезка лежит в плоскости , что и требовалось.