ВсОШ 2026, 11 класс, задача 2
Медианы остроугольного треугольника пересекаются в точке . На стороне отмечены точки и так, что . Высоты треугольника пересекаются в точке . Докажите, что окружность, проходящая через середины отрезков , и , касается описанной окружности треугольника .
Решение. Обозначим через , и — середины отрезков , и соответственно. Поскольку — средняя линия треугольника , то . Аналогично и .
Пусть — медиана треугольника . Тогда , поэтому . Аналогично . Итого соответствующие стороны треугольников и параллельны.
Заметим, что — средняя линия треугольника . Поскольку , то прямая перпендикулярна и . Аналогично , , поэтому прямые и пересекаются в некоторой точке , лежащей и на окружности , и на окружности . Как мы знаем, . Обозначим тогда . Получаем, что у окружностей и общая касательная в точке (прямая, образующая с прямой угол , см. рис.), откуда и следует касание окружностей.
Замечание. Приведём план другого решения. Как и в предыдущем подходе покажем, что соответствующие стороны треугольников и параллельны. Значит, эти треугольники подобны с коэффициентом
Обозначим через медиану треугольника , через — точку, симметричную относительно . Тогда, как известно, полученная точка диаметрально противоположна на окружности . Поскольку , то — точка пересечения медиан треугольника , поэтому
Таким образом, при гомотетии с центром в точке и коэффициентом треугольник переходит в треугольник . Поскольку еще и точка лежит на окружности , то описанные окружности этих треугольников касаются в точке .
Разумеется, построенная точка совпадает с точкой из предыдущего решения. Треугольник может быть вырожденным, но и в этом случае выполняется соответствующее векторное равенство.