ВсОШ 2026, 10 класс, задача 3
Остроугольный неравнобедренный треугольник вписан в окружность с центром , а его высоты пересекаются в точке . Касательные к окружности в точке , к окружности в точке и к окружности в точке ограничивают треугольник . Касательные к окружности в точке , к окружности в точке и к окружности в точке образуют треугольник . Пусть и — центры вписанных окружностей треугольников и соответственно. Докажите, что — параллелограмм, либо точки лежат на одной прямой. (Здесь под окружностью мы понимаем окружность, описанную вокруг треугольника .)
Решение. Пусть касательные, проведенные к окружности в вершинах , образуют треугольник .
Поскольку , окружности и симметричны относительно середины . Пусть касательные, проведенные к и к окружности , пересекаются в . Тогда касательные и симметричны относительно середины ; то же верно для и . Отсюда — параллелограмм, и даже ромб, в силу равенства отрезков касательных . Аналогично строим ромбы и .
Видим, что стороны треугольников и параллельны соответствующим сторонам треугольника . Обозначим их вершины и , где , и так далее. Также из этих параллельностей мы видим, что — параллелограмм.
Заметим, что лежит на биссектрисе угла , а значит и на биссектрисе угла (из ромба ). Но , отсюда . Биссектриса угла параллельна , так как биссектрисы углов с сонаправленными сторонами параллельны. Аналогично . Наконец . Таким образом, через вершины параллелограмма проведены параллельные прямые , , , , перпендикулярные .
Значит, середины и отрезков и лежат на одной прямой , проходящей через центр параллелограмма. Иначе говоря, проекции точек и на прямую совпадают.
Аналогично рассуждая, показываем, что проекции точек и на прямую совпадают. Значит, и совпадают, что и требовалось показать.