ВсОШ 2026, 9 класс, задача 8
Дан треугольник с различными натуральными длинами сторон , и . Докажите, что хотя бы одно из чисел , и не является полным квадратом.
Ответ
Решение 1. Предположим, что все три числа , и являются полными квадратами. Пусть, не умаляя общности, . При этом, по неравенству треугольника, . Заметим, что числа и являются полными квадратами, то есть и для некоторых натуральных и . Разность равна . Видим, что , а тогда . Значит, . Но тогда имеем
то есть . Противоречие.
Решение 2. Не умаляя общности, можно считать, что — наибольшее из чисел. Предположим противное: пусть , , , где , , — натуральные числа. Тогда , откуда . Аналогично, . С другой стороны, (здесь мы воспользовались неравенством треугольника). Значит, . Отсюда следует, что .
Заметим, что . Преобразуя это равенство, получаем
Выше мы получили, что . Тогда из полученных равенств следует, что , а такое возможно только если . Но, так как , числа и взаимно просты, и аналогично взаимно просто с . Но кратно , откуда . Это невозможно, поскольку — максимальное из трёх различных натуральных чисел.