ВсОШ 2021, 9 класс, задача 3
На прямой отмечено различных отрезков; одна из точек прямой принадлежит всем этим отрезкам. Докажите, что среди отмеченных отрезков можно выбрать различные отрезки и , пересекающиеся по отрезку длины, не меньшей , где - длина отрезка .
(И. Богданов, В. Уфнаровский)
Первое решение.
Введем координаты на нашей прямой. Пусть данные отрезки - это , , ..., ; нумерацию отрезков выберем так, что . Если при некотором , то отрезок содержит , и потому отрезки и - искомые. Поэтому в дальнейшем мы считаем, что .
Рассмотрим отрезков , , ..., , , , ..., (некоторые из них могут иметь нулевую длину). Рассмотрим кратчайший из них - пусть для определенности это , а его длина равна . Тогда
и, аналогично,
Поскольку и имеют общую точку, имеем , откуда
Итак, длина отрезка не меньше, чем . Иначе говоря, часть этого отрезка, лежащая вне , имеет длину, не превосходящую . Поэтому отрезки и - искомые.
Второе решение.
Пусть данные отрезки - это , , ..., . Как и в предыдущем решении, мы сводим задачу к случаю, когда точки пронумерованы слева направо, и так же пронумерованы точки . При всех отметим на отрезке точку так, что . Таким образом, точка находится не левее точки . Значит, найдется индекс , при котором точка находится не левее точки . Выберем такой индекс и положим . Заметим, что точки лежат на прямой именно в таком порядке слева направо. Тогда
Это и значит, что длина общей части отрезков и не меньше, чем , где - длина одного из них.
Замечание.
Нетрудно привести пример попарно пересекающихся отрезков одинаковой длины , любые два из которых пересекаются по отрезку длины, не превосходящей .