ВсОШ 2021, 10 класс, задача 2
Найдите все наборы натуральных чисел такие, что
при , где , , . (П. Козлов)
Ответ.
.
Решение.
Из условия следует, что все больше , а также делится на при (здесь и далее для ).
Пусть - наибольшее из чисел , а - простой делитель числа . Поскольку делится на , а делится на , то и делятся на . А тогда и , и делятся на , поэтому делится на . Таким образом, числа все делятся на , поэтому их попарные НОДы не меньше . Следовательно,
Поскольку , такая цепочка неравенств может выполняться только в случае, когда и все неравенства обращаются в равенства. В частности, и . Значит, , а тогда и все равны (поскольку наибольшее из них, и все эти числа больше ).
Остается заметить, что набор удовлетворяет условию.