ВсОШ 2021, 10 класс, задача 6
Дан многочлен степени с вещественными коэффициентами. Известно, что уравнение имеет ровно различных вещественных корней. Докажите, что эти корней можно разбить на две группы с равными средними арифметическими.
(А. Кузнецов)
Ответ
Решение.
Пусть . Заметим, что в том и только в том случае, когда - корень многочлена . В частности, у этого многочлена есть корни, обозначим их . Поскольку , то степень многочлена равна , поэтому . Таким образом, все корни уравнения - в точности корни многочленов , , ..., . Все эти многочлены - степени , поэтому у каждого из них не более корней. Итого, уравнение имеет не более корней, но по условию их . Это возможно лишь в случае, когда каждый из многочленов , , ..., имеет различных вещественных корней и . У этих многочленов коэффициенты при одинаковы и коэффициенты при одинаковы. Тогда по теореме Виета суммы их корней равны. Следовательно, если корни первого многочлена определить в одну группу, а корни остальных - в другую, то все корни уравнения разобьются на две группы с равными средними арифметическими.