ВсОШ 2021, 11 класс, задача 4

Решение.

Будем обозначать окружность, описанную около треугольника . Пусть - центр окружности , а - центр окружности . Обозначим и . Поскольку , то и . Значит, . Кроме того, , и . Здесь мы воспользовались тем, что точка - центр и - серединный перпендикуляр к отрезку .

Проведем в треугольнике высоту . Тогда . Прямая перпендикулярна , а потому параллельна . Значит, угол между этой прямой и прямой равен . Также проекции точек и на - середины отрезков и . Следовательно, . Проекция точки на прямую - середина отрезка , а угол между прямыми и равен , откуда .

Из сказанного выше, . . Рассуждая аналогично, мы получаем, что и . Значит, треугольники и подобны. Тогда . Поскольку и , то . Аналогично . Таким образом,

что и требовалось.

В равенствах (1) и (2) мы воспользовались расположением точек и , которое остается обосновать. А именно, - острый, поскольку это половина угла . Значит, точка лежит в той же полуплоскости относительно прямой , что и , и выполняется (1). Также . Этот угол острый, и в случае, когда лежит в другой полуплоскости относительно , нежели , не превосходит , так как . Значит, точки и лежат в разных полуплоскостях относительно прямой , а тогда выполнено (2).

Замечание.

Приведем план другого решения. Обозначим за точку пересечения прямой с окружностью . Тогда . Значит, точка пересечения и лежит на окружности , а тогда точка лежит на поляре точки относительно этой окружности. Теперь отметим на окружности точку так, что четырехугольник гармонический, обозначим точку пересечения отрезков и за . Центральная проекция в переводит четверку точек с окружности в четверку точек на прямой . Тогда четверка - гармоническая, откуда следует, что поляра относительно проходит и через . Значит, это прямая , и она перпендикулярна . Аналогично, , где - точка пересечения с . Тогда . Остается несложная проверка равенства углов и .