ВсОШ 2021, 10 класс, задача 8
В окружность вписан пятиугольник . Прямая пересекает лучи и в точках и соответственно. Отрезки и пересекаются в точке и вторично пересекают окружность в точках и . Точка симметрична точке относительно прямой . Окружность , описанная около треугольника , пересекает окружность, описанную около треугольника , в двух точках. Докажите, что их можно назвать и так, чтобы прямые и пересекались на окружности .
(М. Дидин, А. Кузнецов)
Решение.
Заметим, что точка лежит внутри окружности , и четырехугольник - выпуклый. Значит, точка лежит внутри окружности . При этом точка лежит вне окружности . Следовательно, окружность вторично пересекает окружность в некоторой точке , которая лежит на дуге , не содержащей точку . В частности, лежит в другой полуплоскости от прямой , нежели точка .
Заметим, что . Следовательно, , поэтому точка лежит на окружности . Кроме того, . Второе равенство следует из вписанности четырехугольников и , третье - из равенств вписанных углов в окружности , а последнее выполнено, поскольку точки и симметричны относительно . Таким образом, , поэтому точка лежит на окружности .
Пусть - вторая точка пересечения окружностей и . Рассуждая аналогично, мы получаем, что лежит на окружностях и и в другой полуплоскости относительно , нежели . Отметим, что . Иначе точка лежала бы и на окружности , и на окружности , что невозможно.
Таким образом, и - две точки пересечения окружностей и .
Назовем , . Пусть прямая вторично пересекает в точке . Тогда , откуда следует, что точки лежат на одной прямой. Значит, прямые и пересекаются на окружности , что и требовалось.