ВсОШ 2021, 9 класс, задача 6

Ответ.

.

Первое решение.

Пусть - центр описанной окружности треугольника . Поскольку , точка лежит на описанной окружности треугольника . Пусть прямая вторично пересекает окружность в точке , а окружность - в точке . Поскольку , точка лежит на серединном перпендикуляре к , поэтому - диаметр . Значит, , то есть - середина хорды окружности . Наконец, пусть точка симметрична точке относительно точки - середины стороны . Поскольку , точка лежит на . Точка лежит на медиане треугольника из вершины и делит ее в отношении , считая от точки ; поэтому - точка пересечения медиан треугольника . Значит, лежит и на медиане , поэтому и .

Второе решение.

Пусть и - медианы в треугольнике . Поскольку , треугольники и подобны. Тогда как соответственные углы (между стороной и медианой). Значит, точки и лежат на одной окружности .

Рассмотрим гомотетию с центром в точке и коэффициентом . Эта гомотетия переводит треугольник в треугольник , где - четвертая вершина параллелограмма . Поскольку , точка лежит на описанной окружности треугольника . Значит, при нашей гомотетии окружность переходит в , поэтому точка переходит в точку , и .

Третье решение.

Пусть и - центры описанных окружностей и треугольников и соответственно, а - точка пересечения высот треугольника . Поскольку и , точки и лежат на . Поскольку , точка лежит на . Как и в первом решении, заметим, что прямая вторично пересекает в точке , диаметрально противоположной точке .

Заметим, что и . Поскольку , из этого следует, что - ромб. Тогда . Пусть пересекает в точке ; треугольники и подобны с коэффициентом . Поэтому . Напомним, что точка переходит в точку при гомотетии с центром и коэффициентом , так что , то есть . Значит, - медиана в прямоугольном треугольнике , поэтому . Значит, подобные треугольники и равны, поэтому . Отсюда и вытекает ответ.

Замечание.

Из последнего решения видно, что - равнобокая трапеция.