ВсОШ 2022, 11 класс, задача 8

Первое решение.

Обозначим треугольник, образованный синими лучами, через (как на рисунке), и пусть его описанная окружность касается окружности . Пусть окружность вторично пересекает окружность в точке (которая, очевидно, лежит внутри треугольника ). Тогда и . Поскольку также

то . Таким образом, точка лежит и на окружности .

Сделаем инверсию с центром в точке (и с произвольным радиусом), образы точек будем обозначать теми же буквами со штрихами. Напомним, что для любых точек и треугольники и подобны (по углу и отношению заключающих сторон), поэтому .

Докажем, что треугольник подобен треугольнику . Действительно,

аналогично для остальных углов. Окружность при инверсии перейдёт в прямую , проходящую через вершину треугольника . Найдём угол между этой прямой и стороной :

Вместе с двумя аналогичными равенствами отсюда следует, что в подобных треугольниках и красные лучи в первом и лучи , , во втором — соответствующие элементы. Окружности и касаются (поскольку они получены инверсией из касающихся окружностей), а тогда и окружность касается описанной окружности треугольника, ограниченного красными лучами, что и требовалось.

Замечание.

Из решения следует более общий факт: углы между окружностью и окружностями, описанными около красного и синего треугольника, одинаковы.

Второе решение.

Обозначим треугольник, образованный красными лучами, через , а треугольник, образованный синими, — . Для определённости будем считать, что именно окружность касается окружности , а доказать нужно то же про окружность . Без ограничения общности можно считать, что точка лежит на отрезке . По условию и . Следовательно, точки и изогонально сопряжены относительно треугольника . Аналогично изогонально сопряжены точки и , и .

Обозначим через композицию инверсии с центром в точке с радиусом и симметрии относительно биссектрисы угла . Тогда преобразование меняет местами точки и и переводит соответствующие красные и синие лучи друг в друга. Применяя это преобразование к конфигурации касающихся окружностей, получаем касание второй окружности с окружностью .

Лемма.

Пусть точки и изогонально сопряжены относительно треугольника . Пусть прямая вторично пересекает окружность, описанную около треугольника , в точке . Тогда .

Доказательство.

Пусть . Поскольку , то треугольники и подобны, в частности, , откуда следует, что точка лежит на продолжении отрезка за точку . А также , поэтому точка лежит на окружности . Значит, , лемма доказана.

Вернёмся к решению задачи. Пусть прямая вторично пересекает окружность в точке , прямая окружность — в точке , прямая окружность — в точке . Тогда, согласно лемме, , , . Кроме того, переводит окружность в прямую . Следовательно, достаточно доказать, что прямая касается окружности .

В силу вписанности четырёхугольников и мы получаем, что , поэтому четырёхугольник вписанный. Аналогично четырёхугольник тоже вписанный.

Сделаем инверсию с центром в точке (и произвольным радиусом). Образы точек будем обозначать теми же буквами со штрихами. Поскольку точка лежит на отрезке , то точка лежит на продолжении отрезка , при этом и точка , и точка расположены в угле , но вне треугольника . Точка лежит внутри угла и вне треугольника . Поскольку точки , , лежат на одной прямой, точка лежит на окружности . В частности, она расположена внутри угла .

Точки , , расположены в другой полуплоскости относительно прямой , нежели точка . Кроме того, поскольку четырёхугольники , , и вписанные, то точка лежит на отрезках , , , а точка — на отрезке . Поскольку окружности и касаются, то окружность , обозначим её через , касается прямой . Также четырёхугольники , и шестиугольник все вписанные, поскольку точка лежит на отрезке , четырёхугольник вписанный, а также точки , , , , лежат на одной прямой именно в таком порядке.

Теперь достаточно доказать, что окружность , обозначим её через , касается прямой , потому что это означает, что до инверсии касались окружности и .

Проведём через точку прямую параллельно и обозначим её точки пересечения с прямыми и через и соответственно. Через точку проведём прямую параллельно и обозначим её точки пересечения с прямыми и через и соответственно.

Четырёхугольник вписанный, а также . Значит, . Следовательно, точка лежит на окружности . Аналогично точка лежит на .

Пусть — полуплоскость, ограниченная прямой , в которой лежит точка . Аналогично — полуплоскость, в которой лежит точка , ограниченная прямой . Обозначим через преобразование подобия, которое переводит точку в точку , точку в точку , а также полуплоскость в полуплоскость . Такое преобразование подобия можно получить, например, как композицию поворотной гомотетии, переводящей в и в , и симметрии относительно прямой .

Четырёхугольник вписанный, поэтому . Следовательно, преобразование переводит окружность в окружность . Далее мы докажем, что, во-первых, и, во-вторых, . Отсюда последует, что переводит точку в точку , а также прямую в прямую . Таким образом, поскольку прямая касается окружности , то прямая касается окружности , что и требовалось.

Остаётся доказать соотношения и . В силу параллельности и , а также и имеем, что , откуда следует . Кроме того, и , поэтому треугольник подобен треугольнику по двум углам, а треугольник — треугольнику . Следовательно,

Разделив первое полученное равенство на второе, мы получаем в точности соотношение . Отметим, что точки и могут располагаться на продолжениях отрезков и (за точки и ), но на решение это не влияет.