ВсОШ 2024, 10 класс, задача 6
Дан параллелограмм . Точка - середина дуги окружности, описанной около треугольника . На отрезке отмечена точка , а на отрезке - точка . Известно, что . Докажите, что точки , , и лежат на одной окружности. (А. Терёшин)
Первое решение. Пусть . Из равнобедренных треугольников и (или из того, что - центр окружности ) имеем (см. рис. 6). Для решения задачи остаётся понять, что тому же равен .
При гомотетии с центром и коэффициентом точки , , перейдут соответственно в , , - середины отрезков , и . Вместо найдём , заметив, что и - проекции на и , а - центр параллелограмма, или середина , тем самым, - проекция на . Видим, что , , , лежат на одной окружности с диаметром . Отсюда . Аналогично . Из четырёхугольника видим, что , что и требовалось.
Второе решение. Достаточно доказать равенство углов (т.е. изогональность и относительно , ). Действительно, тогда будет лежать на внешней биссектрисе угла и на серединном перпендикуляре к , а значит, будет совпадать с серединой дуги .
Равенство углов , в свою очередь, эквивалентно подобию . Докажем это подобие.
Отметим на луче за точкой точку так, что , а на луче за точкой точку так, что . Легко понять, что треугольники и равны по двум сторонам и углу между ними. Тогда . Рассмотрим серединный перпендикуляр к , тогда он является перпендикуляром к параллельной прямой , а поскольку , то он же является серединным перпендикуляром к . Таким образом, трапеция равнобедренная, а раз - параллелограмм, то - также равнобедренная трапеция, причём и . Аналогичное получим для трапеции . Видим, что , откуда следует нужное нам .
Замечание. Требуемое в решении 2 подобие можно доказать и по-другому - установив равенство . Последнее можно сделать, например, счётом в синусах через элементы треугольника , выразив проекцию на , далее выразив отрезок и т.д.
Имеются и другие вычислительные решения, в том числе с использованием комплексных чисел.