ВсОШ 2024, 11 класс, задача 2

Очень сложная

Источник:

Всероссийская олимпиада школьников, Заключительный этап, 2024, 11 класс, Первый тур

Тройку положительных чисел назовём загадочной, если

Докажите, что если тройка - загадочная, то тройка - тоже загадочная. (А. Кузнецов, К. Сухов)

Решение. Покажем, что тройка - загадочная в том и только в том случае, когда , из этого немедленно последует требуемое в задаче.

Предположим, что . Тогда

аналогично

Итого, в этом случае левая часть равенства из условия больше правой. Рассуждая аналогично, в случае имеем, что правая часть больше левой, а в случае достигается равенство, что и требовалось.

Похожие задачи

ВсОШ 2026, 11 класс, задача 1

Можно ли 2026 чисел 1+√2, 1+2√2, ldots, 1+2026√2 разбить на две непустые группы так, чтобы произведения чисел в группах имели одинаковую дробную часть?

Очень сложная

Алгебра

Теория чисел

ВсОШ 2025, 10 класс, задача 6

При каком наименьшем k для любого многочлена f(x) степени 100 с вещественными коэффициентами найдётся такой многочлен g(x) степени не выше k с вещественными коэффициентами, что графики y=f(x) и y=g(x) имеют ровно 100 общих точек?

Очень сложная

Алгебра

Функции

ВсОШ 2026, 11 класс, задача 4

Пусть P(x) — многочлен степени n с вещественными коэффициентами, у которого старший коэффициент равен 1. Оказалось, что можно выбрать 100 попарно различных вещественных корней x₁,x₂,ldots,x₁₀₀ у многочлена P(x) и 100 попарно различных вещественных корней y_{1
Очень сложная
Алгебра
Функции}

ВсОШ 2025, 11 класс, задача 3

Пару многочленов F(x,y) и G(x,y) с целыми коэффициентами назовём важной, если из делимости на 100 обеих разностей F(a,b)-F(c,d) и G(a,b)-G(c,d), где a, b, c, d — целые, следует, что числа a-c и b-d делятся на 100. Существует ли такая важная пара многочленов P(x,y), Q(x,y), что пара многочленов P(x,y

Очень сложная

Алгебра

Теория чисел