ВсОШ 2024, 10 класс, задача 5
Дана прямолинейная дорога, выложенная из зелёных и красных дощечек (дорога - отрезок, разбитый на отрезки-дощечки). Цвета дощечек чередуются; первая и последняя дощечки - зелёные. Известно, что длины всех дощечек больше сантиметра и меньше метра, а также что длина каждой следующей дощечки больше предыдущей. Кузнечик хочет пропрыгать вперёд по дороге по этим дощечкам, наступив на каждую зелёную дощечку хотя бы один раз и не наступив ни на одну красную дощечку (или границу между соседними дощечками). Докажите, что кузнечик может сделать это так, чтобы среди длин его прыжков встретилось не более различных значений. (Т. Коротченко)
Решение. Считаем, что дощечки выложены на числовой прямой. Примем см.
Возьмём такое, что разность длин любой пары соседних дощечек больше . Отметим на прямой бесконечную в обе стороны арифметическую прогрессию с разностью так, чтобы концы дощечек не были отмечены. Кузнечик будет прыгать только по отмеченным точкам, и длины его прыжков будут из множества , где , а натуральное подберём так, что и .
Стратегия кузнечика будет такой: прыгать вправо по зелёной дощечке на пока возможно, и далее перепрыгивать очередную красную дощечку прыжком минимальной возможной длины (такая длина найдётся, поскольку длина самого длинного прыжка больше ). Итак, пусть сделан прыжок длины из зелёного отрезка через очередной красный отрезок . Нам остаётся убедиться, что после этого прыжка кузнечик окажется в следующем зелёном отрезке . Предположим, что это не так, и кузнечик из точки , где перепрыгнул в точку . Видим, что , значит, в множестве длин прыжков кузнечика есть длина . Далее, по выбору , имеем , поэтому можем оценить . Видим, что , а значит, кузнечик мог из точки перепрыгнуть красный отрезок прыжком более коротким, чем . Противоречие.