ВсОШ 2024, 10 класс, задача 4
Дан выпуклый четырёхугольник , в котором , его диагонали пересекаются в точке . Прямая пересекает отрезки , , и в точках , , и соответственно. Известно, что и . Докажите, что длина отрезка не больше диаметра описанной окружности треугольника . (А. Кузнецов)
Решение. Обозначим через окружность и через - её диаметр. Поскольку , то . Из условия следует, что лучи и пересекаются в некоторой точке под прямым углом (см. рис. 5).
Проведём диаметр в окружности . Поскольку , точки идут на окружности в порядке . Тогда и . Следовательно, треугольники и подобны по двум углам, поэтому
.
Полученное равенство означает, что прямоугольные треугольники и подобны по отношению катетов. Тогда , поэтому точка лежит на окружности . Заметим, что - прямая Симсона точки для треугольника , поскольку . Тогда и проекция на прямую тоже лежит на , то есть .
Рассуждая аналогично, мы получаем, что точка , диаметрально противоположная на окружности , лежит на окружности , а также . Таким образом, - хорда окружности , а и - проекции точек и на прямую , поэтому , что и требовалось.
Замечание 1. Приведём схему другого решения.
Нетрудно показать, что (например, используя теорему Менелая). Пусть , , - середины (и ), (и ), (и ) соответственно. Пусть . Из прямоугольного треугольника имеем . Далее, - серединный треугольник для треугольника . Лёгкий счёт углов (с использованием медианы прямоугольного треугольника) даёт . Значит, точки , , , лежат на одной окружности, тогда - хорда окружности . Отсюда , что завершает решение.
Замечание 2. На самом деле - диаметр окружности , что нетрудно установить счётом углов, но для решения этого не требуется. Равенство достигается в том и только в том случае, когда исходный четырёхугольник - вписанный.
Замечание 3. Приведём план ещё одного подхода к задаче. Используем обозначения из приведённого выше решения, а также введём новые: , , , , , , , . Из теорем Менелая для и прямой ; и прямой находим:
.
По теореме синусов для треугольника : , в силу сказанного выше .
Таким образом, достаточно доказать, что . Из теорем Менелая для и прямой ; и прямой легко видеть, что
, ,
отсюда
и .
Обозначим , , тогда . Значит,
,
последнее равенство получается из прямоугольных треугольников и . Остаётся заметить, что
по неравенству Коши-Буняковского-Шварца, получаем в точности требуемое неравенство .