Физтех 2021, 11 класс, задача 4

Сложная
Теория чисел
Комбинаторика
Источник:
Олимпиаде школьников «Физтех», Заключительный этап, 2021, 11 класс

( баллов) Найдите количество троек натуральных чисел , удовлетворяющих системе уравнений

Войдите, чтобы проверять ответы

Ответ. .

Решение. Пусть

(никаких других простых множителей числа , , содержать не могут - иначе нарушается второе условие системы). Отсюда

Учитывая данную в условии систему, получаем соотношения

Рассмотрим первую систему. Возможны следующие наборы чисел :

- набора (за счёт различных перестановок этих чисел);

- также три набора;

, где - есть различных значений , и для каждого из них перестановок - всего вариантов.

Итак, есть способа выбрать тройку чисел . Аналогично устанавливаем, что для выбора есть способов, а так как один выбор осуществляется независимо от другого, общее количество способов равно .

Похожие задачи

Физтех 2022, 9 класс, задача 7

(5 баллов) Функция f определена на множестве положительных рациональных чисел. Известно, что для любых чисел a и b из этого множества выполнено равенство f(ab)=f(a)+f(b), и при этом f(p)=p для любого простого числа p. Найдите количество пар натуральных чисел (x;y) таких, что 1le xle 18, 1le yle 18 и
Сложная
Теория чисел
Комбинаторика

Физтех 2022, 10 класс, задача 7

(5 баллов) Функция f определена на множестве положительных рациональных чисел. Известно, что для любых чисел a и b из этого множества выполнено равенство f(ab)=f(a)+f(b), и при этом f(p)=[p/2] для любого простого числа p ([x] обозначает наибольшее целое число, не превосходящее x). Найдите количество
Сложная
Теория чисел
Комбинаторика

Физтех 2023, 9 класс, задача 1

(4 баллов) Натуральные числа a, b, c таковы, что ab делится на 311711, bc делится на 318716, ac делится на 321738. Найдите наименьшее возможное значение произведения abc.
Сложная
Теория чисел

Физтех 2024, 9 класс, задача 6

(4 баллов) На острове расположено несколько деревень. Между некоторыми деревнями проложены дороги. Известно, что из любой деревни в любую другую можно добраться, причём по единственному маршруту. Также известно, что есть четыре деревни, из которых выходят 3, 4, 5 и 7 дорог соответственно, а из остал
Сложная
Комбинаторика