Олимпиады

Олимпиаде школьников «Физтех»

Сайт олимпиады

Организатор — «Московский физико-технический институт (национальный исследовательский университет)»

11 класс

Заключительный этап

Физтех 2021, 11 класс, задача 1

(5 баллов) Число S - сумма первых 10 членов возрастающей арифметической прогрессии a₁, a₂, a₃, ldots, состоящей из целых чисел. Известно, что a₆a₁₂>S+1, a₇a₁₁1.

Сложная

Выражения и преобразования

Физтех 2021, 11 класс, задача 2

(5 баллов) Рассмотрим всевозможные тетраэдры ABCD, в которых AB=2, AC=CB=5, AD=DB=6. Каждый такой тетраэдр впишем в цилиндр так, чтобы все вершины оказались на его боковой поверхности, причём ребро CD было параллельно оси цилиндра. Выберем тетраэдр, для которого радиус цилиндра - наименьший из получ

Сложная

Планиметрия

Физтех 2021, 11 класс, задача 3

(7 баллов) Пусть M - фигура на декартовой плоскости, состоящая из всех точек (x;y) таких, что существует пара вещественных чисел a, b, при которых выполняется система неравенств Найдите площадь фигуры M.

Сложная

Планиметрия

Физтех 2021, 11 класс, задача 4

(5 баллов) Найдите количество троек натуральных чисел (a;b;c), удовлетворяющих системе уравнений

Сложная

Теория чисел

Комбинаторика

Физтех 2021, 11 класс, задача 5

(5 баллов) Даны числа log_√(5x-1)(4x+1), log_4x+1(frac x2+2)², log_{frac x2+2}(5x-1). При каких x два из этих чисел равны, а третье меньше их на 1?

Сложная

Выражения и преобразования

Физтех 2021, 11 класс, задача 6

(7 баллов) Остроугольный треугольник ABC вписан в окружность ω с центром O. Окружность, проходящая через точки A, O и C, пересекает отрезок BC в точке P. Касательные к ω, проведённые через точки A и C, пересекаются в точке T. Отрезок TP пересекает сторону AC в точке K. Известно, что площади треуголь

Сложная

Планиметрия

10 класс

Заключительный этап

Физтех 2021, 10 класс, задача 1

(5 баллов) Точка D лежит на стороне AC треугольника ABC. Окружность с диаметром BD пересекает стороны AB и BC в точках P и T соответственно. Точки M и N - середины отрезков AD и CD соответственно. Известно, что PMparallel TN. а) Найдите угол ABC. б) Пусть дополнительно известно, что MP=frac12, NT=fr

Сложная

Планиметрия

Физтех 2021, 10 класс, задача 2

(6 баллов) Решите уравнение √(x+4)-√(6-x)+4=2√(24+2x-x²).

Сложная

Выражения и преобразования

Физтех 2021, 10 класс, задача 3

(6 баллов) На плоскости Oxy уравнением 26a²-22ax-20ay+5x²+8xy+4y²=0 заданы координаты точки A, а уравнением ax²+2a²x-ay+a³+1=0 - парабола с вершиной в точке B. Найдите все значения параметра a, при которых точки A и B лежат по разные

Сложная

Выражения и преобразования

Физтех 2021, 10 класс, задача 4

(5 баллов) Решите систему уравнений

Сложная

Выражения и преобразования

Физтех 2021, 10 класс, задача 5

(5 баллов) На плоскости с заданной прямоугольной декартовой системой координат нарисован квадрат с вершинами в точках (0;0), (0;59), (59;59) и (59;0). Найдите количество способов выбрать два узла сетки внутри этого квадрата (не включая его границу) так, чтобы хотя бы один из этих узлов лежал на одно

Сложная

Планиметрия

Комбинаторика

Физтех 2021, 10 класс, задача 6

(7 баллов) Диагонали выпуклого четырёхугольника ABCD пересекаются в точке O, и при этом треугольники BOC и AOD - правильные. Точка T симметрична точке O относительно середины стороны CD. а) Докажите, что ABT - правильный треугольник. б) Пусть дополнительно известно, что BC=3, AD=7. Найдите отношение

Сложная

Планиметрия

9 класс

Заключительный этап

Физтех 2021, 9 класс, задача 1

(5 баллов) Высоты CF и AE остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке H. Точки M и N - середины отрезков AH и CH соответственно. Известно, что FM=2, EN=5, и при этом FMparallel EN. Найдите angle ABC, площадь треугольника ABC и радиус описанной около него окружности.

Сложная

Планиметрия

Физтех 2021, 9 класс, задача 2

(5 баллов) На доске написано несколько попарно различных натуральных чисел. Если самое маленькое число увеличить в 32 раза, то сумма чисел на доске станет равной 477. Если же самое большое число увеличить в 14 раз, то сумма чисел на доске также станет равной 477. Какие числа могли быть написаны на д

Сложная

Теория чисел

Комбинаторика

Физтех 2021, 9 класс, задача 3

(6 баллов) На плоскости Oxy даны точка A, координаты (x;y) которой удовлетворяют уравнению 5a²-6ax-2ay+2x²+2xy+y²=0, и окружность с центром в точке B, заданная уравнением a²x²+a²y²-8a²x-2a³y+12ay+a

Сложная

Выражения и преобразования

Планиметрия

Физтех 2021, 9 класс, задача 4

(4 баллов) Решите систему уравнений

Сложная

Выражения и преобразования

Физтех 2021, 9 класс, задача 5

(5 баллов) У фокусника есть набор из 12² различных карточек. У каждой из карточек одна сторона красная, а другая - синяя; на каждой карточке с обеих сторон написано по одному натуральному числу от 1 до 12. Назовём карточку дублем, если числа на обеих сторонах карточки совпадают. Фокусник

Сложная

Теория чисел

Комбинаторика

Физтех 2021, 9 класс, задача 6

Сложная

Планиметрия