Физтех 2021, 9 класс, задача 5
( баллов) У фокусника есть набор из различных карточек. У каждой из карточек одна сторона красная, а другая - синяя; на каждой карточке с обеих сторон написано по одному натуральному числу от до . Назовём карточку дублем, если числа на обеих сторонах карточки совпадают. Фокусник хочет вытащить две карточки так, чтобы среди них был хотя бы один дубль, и при этом никакое число не встречалось одновременно на обеих вытянутых карточках. Сколькими способами он может это сделать?
Ответ
Ответ. .
Решение. Так как в наборе карточек, у фокусника есть всевозможные варианты карточек (для каждой пары чисел , где , , найдётся карточка, у которой на красной стороне написано число , а на синей - ). Рассмотрим два вида наборов карточек.
- Обе карточки являются дублями. Количество способов выбрать пару карточек равно
- Только одна из карточек является дублем. Тогда её можно выбрать способами, после чего вторую карточку можно выбрать любую за исключением: всех дублей (таковых , с учётом уже выбранной карточки), всех карточек, имеющих тот же номер на красной стороне, что и выбранный дубль (таких , помимо выбранной карточки), всех карточек, имеющих тот же номер на синей стороне, что и выбранный дубль (также ). Итак, вторую карточку можно выбрать способами. Значит, в этом случае имеем способов выбрать пару карточек.
Итак, всего есть способов.