Физтех 2024, 9 класс, задача 2
( баллов) Натуральные числа и таковы, что их сумма равна , а значение выражения равно , где - некоторое простое число. Найдите числа и .
Ответ. .
Решение. Данное выражение можно разложить на множители, в результате чего получаем
- произведение чисел разной чётности, следовательно, это число чётное. Так как оно равно , число также чётное. Но по условию - простое, значит, .
Получаем уравнение , которое является квадратным относительно . Его решения - это и .
Так как в условии задано, что сумма равна , а числа и имеют одинаковую чётность, подходит только случай . Решая получившуюся систему уравнений, находим, что , .