(3 баллов) Найдите все действительные значения x, при каждом из которых существует геометрическая прогрессия, состоящая из действительных чисел и такая, что её седьмой член равен √((25x-9)(x-6)), девятый член равен x+3, а пятнадцатый член равен √(dfrac{25x-9){(x-6)3}}.
Очень сложная
Выражения и преобразования
Физтех 2024, 11 класс, задача 2
(4 баллов) Решите систему уравнений
Очень сложная
Выражения и преобразования
Физтех 2024, 11 класс, задача 3
(5 баллов) Найдите все значения параметра p, при которых уравнение pcos3x+3(p+4)cos x=6cos2x+10 имеет хотя бы одно решение. Решите это уравнение при всех таких p.
Очень сложная
Выражения и преобразования
Физтех 2024, 11 класс, задача 4
(5 баллов) Две окружности ω1 и ω2 пересекаются в точках A и B, а их общая касательная имеет с ω1 и ω2 общие точки C и D соответственно, причём точка B расположена ближе к прямой CD, чем точка A. Луч CB пересекает ω2 в точках B и E. Найдите отнош
Очень сложная
Планиметрия
Физтех 2024, 11 класс, задача 5
(4 баллов) Дан клетчатый прямоугольник 100 × 400. Сколькими способами можно закрасить 8 клеток этого прямоугольника так, чтобы закрашенное множество обладало хотя бы одной из следующих симметрий: относительно центра прямоугольника, относительно любой из двух «средних линий» прямоугольника («средней
Очень сложная
Комбинаторика
Физтех 2024, 11 класс, задача 6
(4 баллов) Найдите все тройки целых чисел (a;b;c) такие, что: a2+b=710.
Очень сложная
Теория чисел
Физтех 2024, 11 класс, задача 7
(6 баллов) В основании призмы лежит равносторонний треугольник площади 1. Площади её боковых граней равны 3, 3 и 2. Найдите объём призмы.
(3 баллов) Третий член арифметической прогрессии равен 3x+3, пятый член равен (x2+2x)2, а девятый равен 3x2. Найдите x.
Очень сложная
Выражения и преобразования
Физтех 2024, 10 класс, задача 2
(4 баллов) Найдите наибольшее значение выражения 4y+8x при условии
Очень сложная
Выражения и преобразования
Физтех 2024, 10 класс, задача 3
(5 баллов) Найдите все пары (m,n) натуральных чисел, для которых одно из чисел A=m2+2mn+n2-9m-9n и B=m2n+mn2-3mn равно 13p2, а другое равно 75q2, где p и q - простые числа.
Очень сложная
Теория чисел
Физтех 2024, 10 класс, задача 4
(5 баллов) Прямая, параллельная биссектрисе AX треугольника ABC, проходящая через середину M его стороны BC, пересекает сторону AB и продолжение стороны AC в точках Z и Y соответственно. Найдите BC, если AC=18, AZ=6, YZ=8.
Очень сложная
Планиметрия
Физтех 2024, 10 класс, задача 5
(4 баллов) Решите систему уравнений
Очень сложная
Выражения и преобразования
Физтех 2024, 10 класс, задача 6
(4 баллов) На тетрадном листе нарисован квадрат 8 × 8 клеток (стороны квадрата идут вдоль границ клеток), а все узлы сетки внутри квадрата или на его границе покрашены в чёрный цвет. Найдите количество способов перекрасить два узла в белый цвет, если раскраски, получающиеся друг из друга поворотом,
Очень сложная
Выражения и преобразования
Комбинаторика
Физтех 2024, 10 класс, задача 7
(6 баллов) В треугольнике ABC на медиане AM и биссектрисе CL как на диаметрах построены окружности Ω и ω соответственно, пересекающиеся в точках P и Q. Отрезок PQ параллелен высоте треугольника ABC, проведённой из вершины B. Окружность Ω пересекает сторону AC повторно в точке N. Найдите длины сторон
(3 баллов) Найдите все значения параметра t, при каждом из которых уравнение x2+2√3tx+4t2-4=0 имеет два различных действительных корня, а их произведение положительно.
Сложная
Выражения и преобразования
Физтех 2024, 9 класс, задача 2
(4 баллов) Натуральные числа a и b таковы, что их сумма равна 40, а значение выражения a2-2ab+b2+15a-15b равно 17p5, где p - некоторое простое число. Найдите числа a и b.
Сложная
Теория чисел
Физтех 2024, 9 класс, задача 3
(5 баллов) На стороне BC треугольника ABC отмечены точки M и N так, что BM=MN=NC. Прямая, параллельная AN и проходящая через точку M, пересекает продолжение стороны AC за точку A в такой точке D, что AB=CD. Найдите AB, если BC=12, cos(2angle CAN)=-dfrac14.
Сложная
Планиметрия
Физтех 2024, 9 класс, задача 4
(5 баллов) В классе для занятий иностранным языком стоят три ряда парт, в каждом из которых по три парты, расположенных друг за другом. Парта рассчитана на одного человека. Школьник хорошо видит доску в любом из следующих случаев (и только в них): он сидит на первой парте в ряду, ближайшая парта пер
Сложная
Комбинаторика
Физтех 2024, 9 класс, задача 5
(5 баллов) Продолжение сторон BC (за точку C) и AD (за точку D) вписанного в окружность четырёхугольника ABCD пересекаются в точке E. Центр O окружности, вписанной в треугольник ABE, лежит на отрезке CD. Найдите наименьшее возможное значение суммы ED+DO, если известно, что BE=10.
Сложная
Планиметрия
Физтех 2024, 9 класс, задача 6
(4 баллов) На острове расположено несколько деревень. Между некоторыми деревнями проложены дороги. Известно, что из любой деревни в любую другую можно добраться, причём по единственному маршруту. Также известно, что есть четыре деревни, из которых выходят 3, 4, 5 и 7 дорог соответственно, а из остал
Сложная
Комбинаторика
Физтех 2024, 9 класс, задача 7
(5 баллов) Найдите все пары целых чисел (x;y), удовлетворяющие уравнению √(2x+2y-x2-y2)+√(1-|x+y-2|)=1.
