Физтех 2024, 11 класс, задача 2

Ответ. , .

Решение. Рассмотрим второе уравнение системы. Его левая часть зависит только от , а правая только от . Сравним их множества значений. Несложно видеть, что множеством значений функции является отрезок .

Пусть . Исследуем на монотонность. Для раскрытия модулей нужно рассмотреть несколько промежутков; на каждом из них - линейная функция. Возрастает она или убывает - зависит исключительно от знака при . В первом слагаемом коэффициент при по модулю меньше, чем во втором. Значит, возрастает при и убывает при .

Отсюда следует, что - точка минимума, а минимальное значение равно . Поскольку , из второго уравнения находим, что и .

Подставляя и в первое уравнение, получаем

Обозначим . Возводя обе части в квадрат, получаем , откуда . Уравнение принимает вид . Решая его, находим или .

Если , то

Если , то

Итак, система имеет два решения: и .