Физтех 2025, 10 класс, задача 1

Очень сложная

Источник:

Олимпиаде школьников «Физтех», Заключительный этап, 2025, 10 класс

( баллов) Ненулевые числа , , удовлетворяют системе уравнений

Найдите все возможные значения выражения , если известно, что система имеет хотя бы одно решение в ненулевых числах.

Ответ.

Решение. Перемножая три уравнения системы и сокращая на ненулевое выражение получаем

откуда после раскрытия скобок и приведения подобных слагаемых имеем

Сложив три уравнения системы, получаем, что и, подставив
в предыдущее равенство, получаем, что откуда

Похожие задачи

Физтех 2024, 10 класс, задача 1

(3 баллов) Третий член арифметической прогрессии равен 3x+3, пятый член равен (x²+2x)², а девятый равен 3x². Найдите x.

Очень сложная

Выражения и преобразования

Физтех 2025, 10 класс, задача 5

(5 баллов) Найдите все значения параметра a, при которых корни уравнения x²-(a²-a)x+a-5=0 являются пятым и шестым членами некоторой непостоянной арифметической прогрессии, а корни уравнения 4x²-(a³-a²)x+2a⁴+2a²-a^{6
Очень сложная
Выражения и преобразования}

Физтех 2024, 10 класс, задача 2

(4 баллов) Найдите наибольшее значение выражения 4y+8x при условии

Очень сложная

Выражения и преобразования

Физтех 2025, 11 класс, задача 2

(3 баллов) Положительные числа x и y таковы, что значение выражения K=dfrac1x+dfrac1y+dfrac2{xy} не изменяется, если x уменьшить на 1, а y — увеличить на 1. Найдите все возможные значения выражения M=x³-y³-3xy.

Очень сложная

Выражения и преобразования