Физтех 2025, 10 класс, задача 5
( баллов) Найдите все значения параметра , при которых корни уравнения являются пятым и шестым членами некоторой непостоянной арифметической прогрессии, а корни уравнения являются третьим и восьмым членами этой прогрессии.
Ответ
Ответ. .
Решение. Так как сумма пятого и шестого члена арифметической прогрессии равна сумме третьего и восьмого членов этой же прогрессии, то из теоремы Виета, применённой к данным квадратным уравнениям, получаем равенство
Раскладывая на множители обе части и перенося всё в одну сторону, получаем
поэтому может быть равно только , и .
Пусть — -ый член арифметической прогрессии с разностью . Если , то корнями первого уравнения являются числа , а второго — . Поэтому и , чего быть не может, то есть не подходит.
Если , то корнями первого уравнения являются числа , а второго — . Поэтому и , чего быть не может, то есть также не подходит.
Теперь рассмотрим случай . Первое уравнение записывается в виде , а его корнями являются числа . Второе уравнение после сокращения на имеет вид , а его корнями являются числа . Эти числа являются членами арифметической прогрессии с и , поэтому подходит.