Физтех 2024, 10 класс, задача 6
( баллов) На тетрадном листе нарисован квадрат клеток (стороны квадрата идут вдоль границ клеток), а все узлы сетки внутри квадрата или на его границе покрашены в чёрный цвет. Найдите количество способов перекрасить два узла в белый цвет, если раскраски, получающиеся друг из друга поворотом, считаются одинаковыми.
Ответ. .
Решение. Зафиксируем положение квадрата (временно запретим повороты) и перекрасим два его узла. Возможны два случая.
- В белый цвет покрашены два узла, симметричных относительно центра квадрата.
- В белый цвет покрашены два узла, не симметричных относительно центра.
В первом случае раскраска переходит сама в себя при повороте на , но не на , то есть все такие раскраски разбиваются на пары считающихся одинаковыми. Во втором же случае совмещение с самой собой при поворотах на , и не происходит, поэтому любая такая раскраска совмещается с четырьмя другими раскрасками, а всё множество раскрасок во втором случае разбивается на четвёрки считающихся одинаковыми.
В первом случае количество раскрасок равно , поскольку достаточно выбрать лишь один узел, не являющийся центральным, и тогда симметричный ему узел определён однозначно. Во втором случае можно брать любые из пар узлов, кроме относящихся к первому случаю, то есть .
В итоге получаем, что количество раскрасок равно