Физтех 2024, 10 класс, задача 5
( баллов) Решите систему уравнений
Ответ. .
Решение. Запишем второе уравнение системы в виде . Введя функцию , можем переписать это уравнение в виде . Функция строго возрастает на всей своей области определения (как сумма трёх возрастающих при функций). Отсюда следует, что каждое своё значение она принимает один-единственный раз. Значит, .
Подставляя в первое уравнение, получаем
Обозначим . Возводя обе части в квадрат, получаем , откуда . Уравнение принимает вид . Решая его, находим или .
Если , то
Если , то . Левая часть этого уравнения - возрастающая функция, а правая - убывающая. Из второго уравнения следует, что . Значит, минимальное значение левой части равно , а максимальное значение правой есть (оба значения принимаются при ). Следовательно, в этом случае решений нет.
Итак, система имеет единственное решение .