Физтех 2025, 10 класс, задача 6
( баллов) На координатной плоскости построена фигура , состоящая из всех точек, координаты которых удовлетворяют неравенству
Фигуру непрерывно повернули вокруг начала координат на угол против часовой стрелки. Найдите площадь множества , которое замела фигура при этом повороте.
Ответ. .
Решение. Сделаем замену , . Тогда первое неравенство имеет вид .
Если пара удовлетворяет данному неравенству, то и пары , , также ему удовлетворяют, поэтому на координатной плоскости неравенство задаёт множество, симметричное как относительно обеих координатных осей, так и относительно начала координат. Но при положительных неравенство эквивалентно , то есть при и при .
В итоге получаем, что неравенство определяет квадрат , . Значит, после обратной замены приходим к тому, что фигура — прямоугольник с центром в точке , стороны которого лежат на прямых , , .
Множество , которое замела фигура , изображено на рисунке. По теореме Пифагора находим , , откуда , то есть .
Искомая площадь множества складывается из разности площадей двух полукругов , площади прямоугольника и площади сегмента с меньшей дугой (две половины равных прямоугольников и равных сегментов не попадают в разность полукругов). В итоге получаем