Физтех 2025, 11 класс, задача 7

Очень сложная
Планиметрия
Источник:
Олимпиаде школьников «Физтех», Заключительный этап, 2025, 11 класс

( баллов) Шар касается всех рёбер правильной усечённой пирамиды, а шар касается всех её граней. Пусть сторона верхнего основания меньше, чем сторона нижнего. Найдите отношение площади боковой поверхности пирамиды к площади её нижнего основания.

Войдите, чтобы проверять ответы

Ответ. .

Решение. Пусть — нижнее, а — верхнее основание данной усечённой пирамиды; и — центры этих оснований (соответственно); и — середины рёбер и (соответственно). Из теоремы о равенстве отрезков касательных, проведённых к шару из одной точки, следует, что

и

следовательно,

Но , то есть

Поэтому данная в условии усечённая пирамида треугольная. Обозначим длину ребра нижнего основания через , верхнего — через . Так как шар касается всех рёбер пирамиды, её боковая грань — описанная равнобокая трапеция с основаниями и .

Рисунок к решению задачи 7

Радиус вписанной окружности найдём из прямоугольного треугольника :

Но

поэтому

Имеем , откуда

(так как ). Значит,

Похожие задачи

Физтех 2025, 10 класс, задача 7

(6 баллов) На гипотенузе BC прямоугольного треугольника ABC выбраны точки P и Q так, что AB = BP, AC = CQ. Внутри треугольника ABC выбрана точка D для которой DP = DQ а angle P DQ = 90circ. Найдите angle DBC если известно, что angle DCB = 20circ.
Очень сложная
Планиметрия

Физтех 2025, 10 класс, задача 6

(5 баллов) На координатной плоскости построена фигура Φ, состоящая из всех точек, координаты которых удовлетворяют неравенству |x-(15/2) +(y/6√(3))|+|x-(15/2) -(y/6√(3))|le 3. Фигуру Φ непрерывно повернули вокруг начала координат на угол π против часовой стрелки. Найдите площадь множества M, которое
Очень сложная
Выражения и преобразования
Планиметрия

Физтех 2025, 11 класс, задача 5

(5 баллов) Точка O — центр окружности ω1, описанной около остроугольного треугольника ABC. Окружность ω2, описанная около треугольника BOC, пересекает отрезок AB в точке P. Найдите площадь треугольника ABC, если AP=dfrac{15}{2}, BP=5, AC=9.
Очень сложная
Планиметрия

Физтех 2024, 11 класс, задача 4

(5 баллов) Две окружности ω1 и ω2 пересекаются в точках A и B, а их общая касательная имеет с ω1 и ω2 общие точки C и D соответственно, причём точка B расположена ближе к прямой CD, чем точка A. Луч CB пересекает ω2 в точках B и E. Найдите отнош
Очень сложная
Планиметрия