Физтех 2025, 10 класс, задача 7
( баллов) На гипотенузе прямоугольного треугольника выбраны точки и так, что
Внутри треугольника выбрана точка для которой а
Найдите если известно, что
Ответ. .
Решение. Пусть , , , . Тогда
где — радиус окружности, вписанной в треугольник . Пусть — точка касания вписанной окружности с гипотенузой . Исходя из равенства отрезков касательных, проведённых к окружности из одной точки, можно получить, что . Тогда
Значит, — середина , . Треугольник — прямоугольный и равнобедренный, следовательно, . Это означает, что — центр вписанной окружности в треугольник , то есть точка пересечения биссектрис треугольника.
Значит, . Поэтому .