(3 баллов) Найдите все тройки натуральных чисел(A; B; C) такие, что: • A — четырёхзначное число, составленное из одинаковых цифр, • B — трёхзначное число, хотя бы одна из цифр которого равна 2 • C — двузначное число, хотя бы одна из цифр которого равна 3 • произведение A · B · C является квадратом н
Очень сложная
Теория чисел
Физтех 2025, 11 класс, задача 2
(3 баллов) Положительные числа x и y таковы, что значение выражения K=dfrac1x+dfrac1y+dfrac2{xy} не изменяется, если x уменьшить на 1, а y — увеличить на 1. Найдите все возможные значения выражения M=x3-y3-3xy.
Очень сложная
Выражения и преобразования
Физтех 2025, 11 класс, задача 3
(5 баллов) а) Найдите все пары действительных чисел (x;y) такие, что (sinπ x+sinπ y)sinπ x=(cosπ x+cosπ y)cosπ x. б) Сколько пар целых чисел (x,y) удовлетворяют одновременно этому уравнению и неравенству arcsin(x/5) +arccos(y/4) <(3π/2)?
Очень сложная
Выражения и преобразования
Физтех 2025, 11 класс, задача 4
(4 баллов) В начале месяца было выделено 4 билета на праздничный концерт, которые планировалось случайным образом распределить между одиннадцатиклассниками. В конце месяца выяснилось, что будет выделено больше 4 билетов. Одиннадцатиклассники Петя и Вася вычислили, что вероятность им обоим вместе поп
Очень сложная
Комбинаторика
Физтех 2025, 11 класс, задача 5
(5 баллов) Точка O — центр окружности ω1, описанной около остроугольного треугольника ABC. Окружность ω2, описанная около треугольника BOC, пересекает отрезок AB в точке P. Найдите площадь треугольника ABC, если AP=dfrac{15}{2}, BP=5, AC=9.
Очень сложная
Планиметрия
Физтех 2025, 11 класс, задача 6
(6 баллов) На координатной плоскости изображена фигура Φ(α), состоящая из всех точек, координаты (x; y) которых удовлетворяют системе неравенств Найдите максимальное значение M периметра (длины границы) фигуры Φ(α) и укажите все значения α, при которых оно достигается.
Очень сложная
Выражения и преобразования
Планиметрия
Физтех 2025, 11 класс, задача 7
(6 баллов) Шар Ω касается всех рёбер правильной усечённой пирамиды, а шар ω касается всех её граней. Пусть сторона верхнего основания меньше, чем сторона нижнего. Найдите отношение площади боковой поверхности пирамиды к площади её нижнего основания.
(4 баллов) Ненулевые числа x, y, z удовлетворяют системе уравнений Найдите все возможные значения выражения (x+3)2+(y+3)2+(z+3)2, если известно, что система имеет хотя бы одно решение в ненулевых числах.
Очень сложная
Выражения и преобразования
Физтех 2025, 10 класс, задача 2
(2 баллов) Десятичная запись натурального числа n состоит из 40,000 девяток. Сколько девяток содержит десятичная запись числа n3?
Очень сложная
Теория чисел
Физтех 2025, 10 класс, задача 3
(5 баллов) Окружность ω с диаметром AB пересекает сторону BC остроугольного треугольника ABC в точке D. Точка F выбрана на отрезке AC так, что DF perp AC а E — точка пересечения отрезка DF с окружностью ω отличная от D. Найдите AF если AC = 10, AB = 6, BE = 5.
Очень сложная
Планиметрия
Физтех 2025, 10 класс, задача 4
(4 баллов) В телеигре ведущий берет несколько коробок и ровно в три из них кладет по одному шарику. Игрок может указать на пять коробок и открыть их. Если в этих коробках лежат все три шарика, то игрок выигрывает. Игроку разрешили открыть шесть коробок. Во сколько раз увеличилась вероятность выигрыш
Очень сложная
Комбинаторика
Физтех 2025, 10 класс, задача 5
(5 баллов) Найдите все значения параметра a, при которых корни уравнения x2-(a2-a)x+a-5=0 являются пятым и шестым членами некоторой непостоянной арифметической прогрессии, а корни уравнения 4x2-(a3-a2)x+2a4+2a2-a6
Очень сложная
Выражения и преобразования
Физтех 2025, 10 класс, задача 6
(5 баллов) На координатной плоскости построена фигура Φ, состоящая из всех точек, координаты которых удовлетворяют неравенству |x-(15/2) +(y/6√(3))|+|x-(15/2) -(y/6√(3))|le 3. Фигуру Φ непрерывно повернули вокруг начала координат на угол π против часовой стрелки. Найдите площадь множества M, которое
Очень сложная
Выражения и преобразования
Планиметрия
Физтех 2025, 10 класс, задача 7
(6 баллов) На гипотенузе BC прямоугольного треугольника ABC выбраны точки P и Q так, что AB = BP, AC = CQ. Внутри треугольника ABC выбрана точка D для которой DP = DQ а angle P DQ = 90circ. Найдите angle DBC если известно, что angle DCB = 20circ.
(3 баллов) При каком наименьшем натуральном n число n! + (n + 1)! + (n + 2)! делится на 361?
Сложная
Теория чисел
Физтех 2025, 9 класс, задача 2
(3 баллов) Из суммы квадратов пяти последовательных натуральных чисел вычли число 10 и получили куб натурального числа N большего 6. Найдите наименьшее возможное значение N.
(5 баллов) На координатной плоскости рассматриваются ромбы с длиной стороны 5 такие, что абсциссы и ординаты всех четырёх вершин каждого ромба — целые числа из промежутка [1;50]. Сколько существует таких ромбов? Напомним, что квадрат также является ромбом.
Сложная
Планиметрия
Комбинаторика
Физтех 2025, 9 класс, задача 5
(5 баллов) Найдите все пары целых чисел (x;y), удовлетворяющих уравнению 19 · 2x+2025=y2.
Сложная
Теория чисел
Физтех 2025, 9 класс, задача 6
(5 баллов) Найдите все значения параметра a при каждом из которых для множества точек плоскости Oxy задаваемых уравнением x2+y2 = a2 наибольшее значение выражения x2-6x+a равно 8.
Сложная
Выражения и преобразования
Физтех 2025, 9 класс, задача 7
(6 баллов) На сторонах AB и BC треугольника ABC выбраны точки M и N соответственно так, что angle MNB=angle ANC=80circ. Найдите angle CAN, если известно, что BN · MA=2BM · NC.
