Физтех 2025, 11 класс, задача 3

Ответ. а) , где , ; , где , .
б) пар.

Решение. Уравнение системы равносильно каждому из следующих:

откуда

или

Уравнению удовлетворяют все такие , что либо , либо , где и — целые. Заметим, что для целых все точки, описываемые равенством , , уже встречаются среди точек вида , (достаточно взять ).

Рассмотрим теперь неравенство системы. По определению функций и сумма всегда лежит в , поэтому неравенство задаёт ограничения , (из областей определения арккосинуса и арксинуса), а также (в этой точке неравенство обращается в равенство).
Итак, остаётся подсчитать количество точек внутри прямоугольника , без угловой точки , лежащих на прямых , . Несложно видеть, что при чётных в прямоугольник попадает по точки, а при нечётных — по точек, за исключением . Тогда получаем суммарно точек.