Физтех 2025, 11 класс, задача 6
( баллов) На координатной плоскости изображена фигура , состоящая из всех точек, координаты которых удовлетворяют системе неравенств
Найдите максимальное значение периметра (длины границы) фигуры и укажите все значения , при которых оно достигается.
Ответ. при , где .
Решение. — это две части круга с центром в точке и радиуса , отсекаемые хордами и , лежащими на прямых с уравнениями и соответственно. Хорды пересекаются в точке , которая принадлежит , так как
Эта точка является единственной общей точкой двух частей .
Периметр равен , где — сумма длин дуг и , — сумма длин хорд и . Угол между и равен , поэтому
Расстояния от точки до и равны и соответственно, поэтому, используя неравенство
о среднем квадратическом и среднем арифметическом, получаем
Равенство достигается при
Тогда , а .