Физтех 2025, 11 класс, задача 5

Очень сложная
Планиметрия
Источник:
Олимпиаде школьников «Физтех», Заключительный этап, 2025, 11 класс

( баллов) Точка — центр окружности , описанной около остроугольного треугольника . Окружность , описанная около треугольника , пересекает отрезок в точке . Найдите площадь треугольника , если , , .

Войдите, чтобы проверять ответы

Ответ. .

Рисунок к решению задачи 5

Решение. Углы и — это центральный и вписанный углы для окружности , опирающиеся на дугу . Значит, . Кроме того, углы и вписаны в окружность и опираются на одну и ту же дугу, поэтому они равны между собой.
Пусть . Тогда , , а по теореме о внешнем угле треугольника . Следовательно, треугольник равнобедренный, .
Из этого треугольника находим, что

и тогда

Похожие задачи

Физтех 2024, 11 класс, задача 4

(5 баллов) Две окружности ω1 и ω2 пересекаются в точках A и B, а их общая касательная имеет с ω1 и ω2 общие точки C и D соответственно, причём точка B расположена ближе к прямой CD, чем точка A. Луч CB пересекает ω2 в точках B и E. Найдите отнош
Очень сложная
Планиметрия

Физтех 2020, 11 класс, задача 6

а) Две окружности одинакового радиуса 5 пересекаются в точках A и B. На первой окружности выбрана точка C, а на второй - точка D. Оказалось, что точка B лежит на отрезке CD, а angle CAD=90circ. На перпендикуляре к CD, проходящем через точку B, выбрана точка F так, что BF=BD (точки A и F р
Очень сложная
Планиметрия

Физтех 2025, 10 класс, задача 6

(5 баллов) На координатной плоскости построена фигура Φ, состоящая из всех точек, координаты которых удовлетворяют неравенству |x-(15/2) +(y/6√(3))|+|x-(15/2) -(y/6√(3))|le 3. Фигуру Φ непрерывно повернули вокруг начала координат на угол π против часовой стрелки. Найдите площадь множества M, которое
Очень сложная
Выражения и преобразования
Планиметрия

Физтех 2020, 11 класс, задача 4

Сфера с центром O вписана в трёхгранный угол с вершиной S и касается его граней в точках K, L, M (все плоские углы трёхгранного угла различны). Найдите угол KSO и площадь сечения данного трёхгранного угла плоскостью KLM, если известно, что площади сечений трёхгранного угла плоскостями, касающимися с
Очень сложная
Планиметрия